2021年度湖南省科学技术奖提名项目公示

一、项目名称诺伊曼-庞加莱算子谱理论和反问题数学理论的研究及应用

二、主要完成单位 中南大学，香港浸会大学，湖南工商大学

三、主要完成人邓又军，刘宏宇，方晓萍

四、申报类别 自然科学二等奖

五、提名意见

      本项目主要应用层势理论以及诺伊曼-庞加莱算子理论，构建同时重构源项及介质参数的新颖反问题的数学理论基础；同时通过深入研究诺伊曼-庞加莱算子谱的精确刻画和渐近行为，分析等离子激元共振的数学理论。主要创新性工作包括：

      1. 首次建立了地磁探测技术严格的数学理论基础，给出了地磁异常物体位置及材料参数重构的唯一性理论。

       2. 发展了一系列科学分析工具，给出了同时重构源项以及介质参数的唯一性理论以及重构非均匀介质的数值方法。

      3. 首次给出了球形结构弹性问题诺伊曼-庞加莱算子谱的精确刻画，并分析了弹性问题发生等离子激元共振以及基于共振的隐形；构建了等离子激元共振与热生成模型。

     相关研究工作发表在《Arch. Ration. Mech. Anal.》、《Journal of Differential Equations》、《Inverse Problems and Imaging》、《Journal of Spectral Theory》等国际重要学术刊物以及《East Asian Journal on Applied Mathematics》国内重要学术刊物上。

       项目的研究为地磁探测等多参数重构反问题，特别是耦合物理模型中多参数重构提供重要的理论基础以及数值方法；同时为等效实现负属性超材料提供重要理论依据，为进一步研究基于共振隐形以及超分辨率成像打下了坚实的基础。

提名该项目为湖南省自然科学奖二等奖

六、项目简介

      诺伊曼/纽曼-庞加莱（Neumann-Poincaré）类型算子是声波、电磁波以及弹性波方程积分形式解中普遍存在的一类积分算子，是相关问题源项、参数反演唯一性理论中非常重要的算子，其谱理论是研究等离子激元共振、基于共振的隐形以及超分辨成像等数学理论的重要工具。

       本项目主要应用层势理论以及诺伊曼-庞加莱算子理论，构建同时重构源项及介质参数的新颖反问题的数学理论基础；同时通过深入研究诺伊曼-庞加莱算子谱的精确刻画或渐近行为，分析等离子激元共振的数学理论。项目的研究为多参数重构反问题，特别是耦合物理模型中多参数重构提供重要的理论基础以及数值方法；同时为等效实现负属性超材料提供重要理论依据，为进一步研究基于共振隐形以及超分辨率成像打下了坚实的基础。主要的科学发现点如下：

1.地磁成像的唯一性理论

      针对一般的核-壳结构对地球磁场的分布，尤其是磁化物体对地球表面磁场的影响进行深入的理论分析，引入了地磁成像相关的诺伊曼-庞加莱算子给出了电磁场分布的主体形式，进而给出重构磁化物体位置、磁化参数的唯一性理论。同时在理论证明中抛出了构建新的指示函数对物体进行重构的数值方法。

2. 同时重构源项及介质参数的新颖反问题理论

       多层材料及障碍物、源项的实际应用可以涉及脑成像、声波探测、人体结构组织探测等众多领域。应用层势理论、引入诺伊曼-庞加莱算子，给出了电磁波方程、声波方程以及静电场方程中同时重构源项、非均匀介质和未知障碍物的一些充分性条件和相关的唯一性理论。

3. 诺伊曼-庞加莱类型算子的谱分析

       首次给出了弹性系统中球形结构诺伊曼-庞加莱算子的谱的精确刻画，发现其多项式紧性的特点以及两簇非0聚点的谱；给出了有限频率下诺伊曼-庞加莱类型算子的谱的精确刻画和渐近行为；给出了多层核壳纳米粒子结构的等离子共振以及热生成的数学理论和规律。

项目的8篇代表作发表在《Arch. Ration. Mech. Anal.》、《Journal of Differential Equations》、《Inverse Problems and Imaging》、《Journal of Spectral Theory》等国际重要学术刊物以及《East Asian Journal on Applied Mathematics》国内重要学术刊物上，被国际重要刊物广泛引用，其中论文总引次数56次，总他引次数26次，单篇最高他引次数21次。

 七、客观评价

      项目自2015年以来已取得了一些重要的研究成果，在重要刊物上发表论文数十篇。其中8篇代表作发表在《Arch. Ration. Mech. Anal.》、《Journal of Differential Equations》、《Inverse Problems and Imaging》、《Journal of Spectral Theory》等国际重要学术刊物以及《East Asian Journal on Applied Mathematics》国内重要学术刊物上。相关的客观性评价如下：

对发现点1的评价：

       美国数学评论员、著名数学家Valeri G. Yakhno教授在美国数学评论上对本论文成果进行了大篇幅的报道，指出本文给出了唯一重构位置和材料参数的主要成果（“The unique recovery of positions as well as the material properties of the magnetized anomalies is the main result of the paper”）。

对发现点3的评价：

       针对了3维球形结构弹性问题诺伊曼-庞加莱算子谱的精细刻画这一重要发现，韩国科学院院士Hyeonbae Kang及团队成员Ando教授和Miyanishi教授最近发表在《Int. Math. Res. Notices》上的文章报道了我们的工作并指出他们的结果和我们得到的理论结果相一致（“Recently, eigenvalues of the elastic NP operator on three dimensional balls are derived explicitly in [7], which is in accordance with the results of this article”[7]为我们的代表性论文3）。同时，韩国科学院院士Hyeonbae Kang及团队成员Ando教授，Miyanishi教授以及著名数学家Putinar教授在《Rev. Roumaine Math. Pures Appl.》上发表关于诺伊曼-庞加莱算子谱进展的评论文章报道了我们的工作（“The spectrum of the ball has been computed in [32]”[32]为我们的代表性论文3）。随后Miyanishi教授与Rozenblum教授发表在国际知名刊物《Int. Math. Res. Notices》上的文章提到我们关于诺伊曼-庞加莱算子的特征值显示刻画的工作是3维情况下唯一已知的工作（“As for the 3-dimensional case, we know explicit eigenvalues only for the sphere [14]，[14]为我们的代表性论文3）。

       针对3维弹性问题发生基于不规则局部共振的隐形的重要条件这一重要发现，日本京都大学Daisuke教授在公开发表的论文里面特别提到了我们的工作（“Deng et al. showed that CALR occurs when the domain n is a ball and when the support of f locates in a suitable area [9]”，[9]为我们的代表性论文3）。

 八、代表作及论文目录

[1] Youjun Deng*（邓又军）, Jinhong Li, Hongyu Liu（刘宏宇）, On identifying magnetized anomalies using geomagnetic monitoring, Arch. Rational Mech. Anal., 231 (1) (2019), 153–187.

[2] Xiaoping Fang（方晓萍）, Youjun Deng*（邓又军）, Jing Li, Plasmon resonance and heat generation in nanostructures, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 38 (18) (2015), 4663–4672.

[3] Youjun Deng*（邓又军）, Hongjie Li, Hongyu Liu（刘宏宇）, On spectral properties of Neuman-Poincaré operator on spheres and plasmonic resonances in 3D elastostatics, Journal of Spectral Theory, 9 (3) (2019), 767–789.

[4] Youjun Deng（邓又军）, Hongyu Liu*（刘宏宇）, Xiaodong Liu, Recovery of an embedded obstacle and the surrounding medium for Maxwell’s system, Journal of Differential Equations, 267 (4) 2019, 2192–2209.

[5] Xiaoping Fang（方晓萍）, Youjun Deng*（邓又军）, Uniqueness on recovery of piecewise constant conductivity and inner core with one measurement, Inverse Problems and Imaging, 12 (3) (2018), 733-743.

[6] Xiaoping Fang（方晓萍）,Youjun Deng*（邓又军）, XiaohongChen，Reconstruction of small inclusions in Electrical Impedance Tomography problems, East Asian Journal on Applied Mathematics, 9 (2) (2019), 280–294.

[7] Xiaoping Fang（方晓萍）, Youjun Deng*（邓又军）, Xiaohong Chen, Asymptotic behavior of spectral of Neumann-Poincaré operator in Helmholtz system, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 42 (3) (2019), 942–953.

[8] Xiaoping Fang（方晓萍）, Youjun Deng*（邓又军）, Numerical implementation for reconstruction of inhomogeneous conductivities via Generalized Polarization Tensors, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 38 (2015), 3229-3245.

九、主要完成人情况

姓名：邓又军

排名：1

行政职务：信息与计算科学系主任

技术职称： 教授

工作单位：中南大学

主要完成单位：中南大学

完成人对本项目的贡献：

项目的第一完成人，参与了本申报项目的所有工作，对重要科学发现中所有科学发现（1-3）均作出了创造性贡献，是本项目的核心力量。本人在代表性论文1、3、4、5中署名为第一作者，代表性论文2、6、7、8中署名为通讯作者。所有代表性论文均无知识产权争议。

姓名：刘宏宇

排名：2

行政职务：无

技术职称： 教授

工作单位：香港城市大学

主要完成单位：香港浸会大学

完成人对本项目的贡献：

项目的第二完成人，参与了本申报项目部分工作，包括参与代表性论文1、3、4的工作，在重要科学发现中所有科学发现（1-3）均作出了一定的贡献，是本项目的主要力量。本人在代表性论文4中署名为通讯作者且无知识产权争议。

姓名：方晓萍

排名：3

行政职务：理学院副院长

技术职称： 副教授

工作单位：湖南工商大学

主要完成单位：中南大学、湖南工商大学

完成人对本项目的贡献：

项目的第三完成人，参与了本申报项目部分工作，包括参与代表性论文2、5、6、7、8的工作，在重要科学发现中所有科学发现（2-3）均作出了一定的贡献，是本项目的主要力量。本人在代表性论文2、5、6、7、8中署名为第一作者且无知识产权争议。

十、主要完成单位情况

完成单位：中南大学

排名：1

完成单位对项目的贡献：

中南大学为第一完成单位，中南大学数学与统计学院具备良好的学习资源和雄厚的科研基础。中南大学图书馆和数学与统计学院分馆藏有大量图书资源，期刊杂志数据库和电子资源，如 AMS、IOP、SIAM、AIMS、PNAS、Springer、 Elsevier 等，可以便捷、全面地查阅到最新的国内外相关研究动态，为项目的开展提供了良好的资源服务。学院拥有高性能实验室，计算硬件条件优越，为项目的进行提供了良好的保障。且数学与统计学院拥有数学与统计学两个一级学科博士点和博士后流动站，有跨学科和多学科背景，为本项目的开展提供了充分的人力资源。

完成单位：香港浸会大学

排名：2

完成单位对项目的贡献：

       香港浸会大学（Hong Kong Baptist University, HKBU）为第二完成单位，简称“浸大”，位于中国香港，创立于 1956 年，为香港历史最悠久的高等学府之一，是一所由香港特区政府全面资助的公立大学。浸大以“全人教育”为其教育目标及理想，其校训为“笃信力行”。香港浸会大学对此项目的完成提供了良好的科研环境及人力资源服务。

完成单位：湖南工商大学

完成单位对项目的贡献：

       湖南工商大学是一所以“新工科+新商科+新文科”与理科融合发展的省属全日制高校，是“十三五”国家产教融合发展工程应用型本科高校，目前是湖南省唯一一所获教育部高等学校科学研究优秀成果（人文社会科学）一、二等奖的高校，学校具有良好的科技政策，在科学研究、对外交流、合作研究等方面均有相应的支持。学校数字图书馆资料丰富，电子书刊总量达5200G，电子期刊19万余种，购买了国内外主要数据库，包括Science Direct、Springer、MathSciNet 数据库、SIAM电子期刊等90余个中外文数据库，自建多个特色数据库，可以便捷、全面地查阅到最新的国内外相关研究动态，提供本项目研究所需的绝大多数文献资料。

       学校拥有湖南省工程研究中心、“统计学习与智能计算”湖南省级重点实验室和大数据研究中心等平台，拥有良好的实验条件和研究设施，也为本项目提供了丰富的相关数据，可以为本项目提供准确、详实的数据支持，也为本项目的数据收集与处理、以及项目研究和实施过程中快速、高效以及并行算法的设计、大规模的数值计算等提供了良好的平台与条件。

十一、主要完成人合作关系说明

       项目主要完成人邓又军、刘宏宇和方晓萍针对“诺伊曼-庞加莱算子谱理论和反问题数学理论的研究及应用”项目的研究分工明确、优势互补、合作创新。在项目过程中，共同构建同时重构源项及介质参数的新颖反问题的数学理论基础；同时通过深入研究诺伊曼-庞加莱算子谱的精确刻画或渐近行为，分析等离子激元共振的数学理论。

       项目完成人邓又军与刘宏宇自2014年开始合作，共同完成了地磁成像的数学理论，合作完成论文“On identifying magnetized anomalies using geomagnetic monitoring”；共同给出了三维球形结构弹性问题诺伊曼-庞加莱算子的谱的精确刻画，合作完成论文“On spectral properties of Neuman–Poincaré operator and plasmonic resonances in 3D elastostatics”；共同给出脑成像科学问题中同时重构源项以及周围非均匀介质的唯一性问题，合作完成论文“On an inverse boundary problem arising in brain imaging”；共同给出Maxwell方程同时同构障碍物以及周围非均匀介质的唯一性问题，合作完成论文“Recovery of an embedded obstacle and the surrounding medium for Maxwell’s system”。

        项目完成人邓又军与方晓萍自2015年开始合作，共同构建了等离子激元共振以及热生成模型，合作完成论文“Plasmon resonance and heat generation in nanostructures”；共同给出EIT成像中同时重构内核和周围非均匀介质的唯一性理论，合作完成论文“Uniqueness on recovery of piecewise constant conductivity and inner core with one measurement”；共同给出EIT成像中重构微小物体位置及物质参数的唯一性理论，合作完成论文“Reconstruction of small inclusions in Electrical Impedance Tomography problems”；共同给出Helmholtz系统下诺伊曼-庞加莱算子谱的精确刻画以及渐近行为，合作完成论文“Asymptotic behavior of spectral of Neumann-Poincaré operator in Helmholtz system”；共同承担了国家自然科学基金青年基金项目《几类特殊材料结构正则化逼近隐身的收敛性及稳定性研究》，项目编号：11601528；共同承担了湖南省自然科学基金青年基金项目《几类特殊结构的等离子共振及基于共振的隐身现象的研究》，项目编号为：2018JJ3622。